Programmierung

Die Programmierung von Analogcomputern besteht darin, die einzelnen Funktionsblöcke so zu verbinden, daß sie dem zu lösenden System entsprechen. Der Ausgangspunkt ist dabei i.d.R. ein physikalisches System, den Endpunkt stellt die Verdrahtung der Funktionsblöcke des Analogcomputers dar.

Im folgenden soll ein einfaches Pendel simuliert werden. Folgende Schritte gehören zur Programmierung eines Analogcomputers:

Unterabschnitte

Physikalisches System

\includegraphics{fig/pendel}    Im nebenstehenden Bild ist das Pendel dargestellt. Das Pendel mit der Masse $ m$ hängt an einem Faden der Länge $ l$. Die Größe $ x$ gibt die Auslenkung des Pendels an.

Mathematisches Modell

Die Bewegung dieses Pendels kann durch folgende Differentialgleichung beschrieben werden:

$\displaystyle \ddot{\alpha}+r\dot{\alpha}+\frac{g}{l}\sin(\alpha)=0$ (1)

wobei $ r$ die Reibung des Pendels in seiner Aufhängung bzw. duch die Luft charakterisiert und $ \dot{\alpha}$ die Ableitung des Winkels $ \alpha$ nach der Zeit $ t$ ist, bzw.  $ \ddot{\alpha}$ die zweite Ableitung.

Da die Sinus-Funktion in Gl. (1) nur aufwendig nachzubilden ist, soll hier eine Näherung durchgeführt werden, die zu einem einfacheren System führt. Für kleine Auslenkungen (d.h.  $ \alpha<10^\circ$) läßt sich die Differentialgleichung mit der Näherung $ \alpha\approx\frac{x}{l}$ zu

$\displaystyle \ddot{x}+r\dot{x}+\frac{g}{l}x=0$ (2)

vereinfachen. Die Änderung von $ x$ ist gleich der Geschwindigkeit $ v$ des Pendels, d.h. $ \dot{x}=v$ und damit läßt sich (2) in die sogenannten Zustandsform

\begin{displaymath}\begin{array}{lccr} \dot{x}&=& & v \\ \dot{v}&=&-\frac{g}{l}x & -rv \end{array}\end{displaymath} (3)

umformen. Diese hat den Vorteil, daß alle Größen nur noch in der ersten Ableitung auftreten. Der Begriff Zustandsform deutet darauf hin, daß diese Differentialgleichung die Entwicklung des Zustandes des Pendels beschreibt. Dieser Zustand ist durch die Auslenkung $ x$ und die Geschwindigkeit $ v$ gegeben.

Signalflußplan

Von dem Differentialgleichungssystem (3) kann nun einfach ein Signalflußplan aufgestellt werden. Der Ausgangspunkt sind dabei die Integratoren: Wenn am Ausgang eines Integrators die Größe $ x$ auftreten soll, ist am Eingang $ \dot{x}$ zuzuführen.

signalfluss.gif

$ x_0$ am oberen Integrator entspricht der anfänglichen Auslenkung, $ v_0$ am unteren Integrator gibt die Anfangsgeschwindigkeit des Pendels an. Beide Größen können am Rechner auf Potentiometer geführt und damit eingestellt werden. Genauso kann die Dämpfung einstellbar gemacht werden und damit Untersuchungen zum ihrem Einfluß durchgeführt werden.

Dieser Signalflußplan ist einfach gehalten, bei den meisten Analogrechnern haben z.B. die Integratoren einen zusätzlichen negativen Koeffizienten, so daß zusätzliche Blöcke zum Zusammenschalten notwendig sind.

Eine Simulation der Gleichung (1) wäre auch möglich, durch die Sinus-Funktion aber aufwendiger.

Ergebnis

solution.jpgSo sieht die Ausgabe auf einem Analogrechner aus; hier der Verlauf der Geschwindigkeit $ v$ auf dem Schirm eines HDR-75. Wenn das Ergebnis etwas dauerhafter sein soll, kann es mit einem Plotter zu Papier gebracht werden.
Bei einem Klick auf das Bild sehen Sie den gesamten Rechner. Die dann sichtbaren Kabel verkörpern das ''Programm'' des Analogrechners.

Zeitverläufe    Darstellung im Zustandsraum
\includegraphics[width=7cm]{fig/time}    \includegraphics[width=7cm]{fig/space}
Hier sind die Zeitverläufe der Auslenkung $ x$ und der Geschwindigkeit $ v$ zu sehen, auf der x-Achse ist die Zeit $ t$ aufgetragen. Das Pendel startet in einer ausgelenkten Lage, beschleunigt, bis es den Mittelpunkt durchquert und wird dann abgebremst. Zum Ende kommt es mit $ x=0$ und $ v=0$ zur Ruhe.    Dies hier sind die gleichen Verläufe, nur anders dargestellt. Auf der x-Achse ist nicht mehr durch die Zeit $ t$ aufgetragen, sondern die Auslenkung $ x$, während an der y-Achse die Geschwindigkeit $ v$ angegeben wird. Es ist deutlich zu sehen, wie die Geschwindigkeit zum Anfang bei abnehmender Auslenkung zunimmt und umgekehrt. Zum Schluß kommt das Pendel in der Mitte bei $ x=0$ und $ v=0$ zur Ruhe.

Beide Formen der Darstellung lassen sich an einem Analogrechner direkt und in Bewegung betrachten. Gleichzeitig ist das Ändern von Parametern über die Potentiometer möglich und die Beobachtung ihres Einflußes.